作者：冯宣瑞、谢鹏志、王振富（分别系北京大学数学科学学院博士生、复旦大学数学科学学院博士生、北京大学北京国际数学研究中心研究员）

　　在日前召开的国际数学家大会上，中国数学家邓煜同获菲尔兹奖。国际数学联盟高度肯定他在偏微分方程领域的工作，其中最重要的是从硬球动力学严格推导玻尔兹曼方程，这也是希尔伯特第六问题最核心的部分。此外，颁奖词还提到他从非线性色散系统推导波动动理学方程，以及用概率方法研究非线性薛定谔动力学的重要工作。

　　三条看似分散的研究线索，背后有一条共同的主线：怎样从极其复杂的微观相互作用中，严格推出稳定的统计规律和宏观方程。

中国数学家邓煜获得菲尔兹奖。新华社发

　　短时间推导之后的一项重大突破

　　2024年8月，邓煜、Zaher Hani和马骁公开了从硬球动力学长时间推导玻尔兹曼方程的论文，动理学界很快认识到，这是继上世纪70年代兰福德短时间推导之后的一项重大突破。

　　北京大学北京国际数学研究中心高度重视这一原创成果，2025年初，中心主任田刚院士亲自推动和指导，专门邀请作者进行系统宣讲。同年3月，数学中心召开“动理学理论最新进展与希尔伯特第六问题”会议，邓煜以系列专题报告的形式，首次系统阐述了证明的整体框架、核心思想和关键技术。2025年暑期，数学中心又组织了专题学习讨论班，对这篇近两百页的论文进行持续研读、核验和讨论，邓煜本人也再次作进一步讲解。

　　在国际数学界，这项工作也迅速进入专家的视野，成为重要学术讨论场合的主题。2026年1月，旨在概览当代数学重要进展的法国布尔巴基讨论班在巴黎亨利·庞加莱研究所，将邓煜、Zaher Hani和马骁的成果列为专题报告，全球知名动理学领域专家共同撰写了近40页的讨论班讲义。

　　讲义指出，三位作者在兰福德开创性工作50年后突破了短时间限制，得到了长期期待的长时间收敛结果，并称其为从微观模型经由玻尔兹曼方程严格推导宏观规律的一项关键进展。布尔巴基讨论班专门组织报告，并由多位国际动理学专家共同梳理其证明思想，显示出这一成果在国外数学界受到的高度重视。

　　一杯气体与百年难题

　　我们考虑一个理想模型：在一个密闭空间里有大量的气体分子，它们可以被看成是极小的硬球。球与球之间只在相互接触时作完全弹性碰撞，而不会发生形变，其他时候作匀速直线运动。从理论上说，只要知道每个球初始的位置和速度，原则上就能依照牛顿力学确定以后发生的一切。最重要的是，牛顿力学系统具有时间可逆性，也就是说，如果在某一时刻把所有速度同时反向，系统就会沿原轨迹倒退回初始状态。

　　在三维空间中，如果气体分子的数目是N，那么这个系统的完整状态需要用6N个数来描述。但对于气体来说，N至少是10的23次方量级。相比起追踪一个如此庞大的系统，我们更希望找到一条简化方程来描述整个模型，这就是著名的玻尔兹曼方程。若以f（t,x,v）表示在时刻t、位置x附近、速度约为v的气体分子密度，那么它可以写成

　　（∂t + v·∇x） f = Q（f,f）.

　　方程的左边描述气体分子的自由飞行，右边则描述碰撞带来的速度重新分配。这个方程由玻尔兹曼在1872年的一篇论文中写下，它用一个单粒子的分布函数概括了系统的整体统计状态。

　　但玻尔兹曼方程并没有在一开始就被广泛接受。一方面，它带来的熵增性质蕴含着时间不可逆性。另一方面，从数学上看，玻尔兹曼推导方程时进行了一步核心假设，两个气体分子在每次碰撞前的状态是独立的。这一假设并不显然，因为碰撞会创造出分子之间的相关性，一个气体分子的碰撞历史，会影响它与其他分子下一次碰撞的概率。即使初始时刻的状态满足这种独立性，随着时间不断推进，相关关系也会变得越来越复杂。要从数学上严格证明玻尔兹曼方程确实能够从硬球牛顿力学中推导出来，就必须说明在适当极限下，这些相关性会逐渐消失。由于分子论被越来越多的实验证据支持，物理学界逐渐认可了玻尔兹曼方程的有效性，但百余年来，以上两个疑问始终没有被妥善回应。

　　希尔伯特第六问题的基本路线

　　1900年，希尔伯特在国际数学家大会上提出了著名的23个问题，其中第六问题的广义表述是为概率论和物理学建立公理化基础。在随后的阐释中，他特别提到，应当把“从原子论观点到连续介质运动定律”的极限过程严格数学化。后来人们常把其中一条基本路线概括为：牛顿硬球动力学—玻尔兹曼方程—流体方程。

　　这就是希尔伯特第六问题的经典动理学版本。它包含了两个步骤，第一步是从微观粒子到介观的玻尔兹曼方程，第二步是从玻尔兹曼方程再到欧拉方程、纳维—斯托克斯—傅里叶方程等宏观流体模型。

　　经过许多学者专家的工作，人们对第二步的了解逐渐深入，但对于第一步却一直缺少有效的处理方法。为了让粒子越来越小、越来越多，同时又保持有限的碰撞频率，我们需要采用玻尔兹曼—格拉德尺度，在三维中令粒子直径ε趋于0、粒子数N趋于无穷，并保持Nε²为常数量级。直观上说，气体越来越稀薄，但粒子在单位时间内仍能经历有意义数量的碰撞。

　　1975年，兰福德取得了第一次里程碑式的进展，他在足够短的时间内，从硬球动力学严格推出了玻尔兹曼方程，这个结果奠定了整个领域的基准。但这个短时间的结果并不能简单地沿着时间进行叠加。若把碰撞过程逐次展开，可能的碰撞历史会迅速累积；更麻烦的是，曾经碰撞过的粒子还可能再次相遇，相关性会沿着时间推进而不断叠加。原先能够收敛的展开，到了长时间就可能被巨大的组合复杂性淹没。

　　从短时间到长时间，这道屏障横亘了近半个世纪，吸引了无数优秀的数学家不断进行尝试，但始终没有得到完整的解决。

　　时间分层与碰撞历史

　　邓煜、Zaher Hani和马骁的突破，正是在于重新组织了长时间过程中可能发生的复杂事件。邓煜曾将自己近年的研究主线概括为：当临界问题迫使展开推进到任意高阶甚至无穷阶时，怎样控制由此产生的量和庞大组合结构。此前他与Zaher Hani研究波湍流理论时，已经发展出高阶图表展开、统计量传播和组合算法等一系列技术。波动动理学方程可以看作玻尔兹曼方程在“波”系统中的对应情形，因此这一经验被他们迁移到硬球问题，但粒子碰撞带来的新奇异性又迫使他们重新设计算法。

　　他们的长时间证明大致可以分为三个步骤：

　　第一，把长时间区间切成许多时间层。每一层只展开一部分碰撞历史，再把得到的统计信息传给下一层。这样既利用了短时间分析的可控性，又避免每走一步都假装系统重新变得独立。

　　第二，用累积量记录真正的相关性。在统计学中，协方差可以衡量两个变量是否相关，而累积量正是这一思想向多变量、高阶统计的推广。若粒子完全独立，许多高阶累积量应当消失。但粒子之间的碰撞会带来相关性，使它们不再为零，因此证明的任务便转化为：尽管相关性持续产生，在玻尔兹曼—格拉德极限下，相关累积量仍足够小。

　　第三，把碰撞历史编码成图。论文把这些结构称作“molecules（分子）”，每个分子是一个图状结构，但图中的节点和连线并不是现实中的分子模型，而是记录哪些粒子在何时以何种方式发生了关联。为了处理复杂的分子，他们设计了一套全新的切割算法，把复杂图按结构拆成可估计的基本部件，并从某些特殊结构中提取足够的小量，抵消图的数量增长。

　　在此情况下，玻尔兹曼方程的推导不再是一个充分短时间内的结果，而是可以在方程的解存在的整个时间尺度上成立。

　　从玻尔兹曼走向流体力学

　　2025年，邓煜、Zaher Hani和马骁进一步与已有的流体动力学极限理论结合，在二维和三维周期空间的稀薄硬球系统中，先严格得到玻尔兹曼方程，再结合成熟的动理学到流体极限结果，推出不可压纳维—斯托克斯—傅里叶系统和可压欧拉方程等。由此，在明确的模型和极限框架下，“牛顿硬球动力学—玻尔兹曼方程—流体方程”的链条被贯通。

　　从波湍流到硬球气体，邓煜及其合作者发展了完整的处理临界、长时间、高阶展开和巨大组合复杂性的数学方法。它告诉我们，在复杂的微观结构背后，宏观定律不仅是呈现在观测尺度下的结果，更是在海量自由度和漫长相互作用中仍能稳定传播的统计结构。

　　《光明日报》（2026年08月27日 16版）