编者按

　　两位中国数学家同获菲尔兹奖，令人久久回味。他们的故事值得细数，故事里的“数学桂冠”同样让人好奇——他们所攻破的难题，究竟蕴藏着怎样的洞见？难在何处，又通向何方？未来还有哪些未知的险峰，等待后人攀登？

　　本期，我们特邀学者执笔，试着诠释那些高深的理论。从三维挂谷猜想到希尔伯特第六问题——自疑问开始，让我们一步步，踏入数学的世界。

　　作者：焦宇翔、何伟鲲（分别系北京大学数学科学学院博士生、中国科学院数学所研究员）

　　2026年7月，在国际数学家大会上，35岁的中国数学家王虹获得菲尔兹奖。国际数学联盟在授奖词中提到，她在调和分析和几何测度论的一系列中心问题上取得重要突破，其中包括与乔舒亚·扎尔合作解决三维挂谷猜想。

　　但你知道吗？这个听起来十分深奥的猜想，最初却来自一个人人都能听懂的问题：一根针，究竟需要多大的地方，才能掉转方向？

中国数学家王虹获得菲尔兹奖。新华社发

　　一根针掉转方向需要多大地方

　　1917年，日本数学家挂谷宗一提出了“挂谷针问题”：在平面上，要让一根长度为1的针掉转方向，至少需要多大的区域？

　　最简单的办法，是捏住针的中点旋转半圈。针会扫过一个直径为1的圆盘。但人们很快发现，这个圆盘浪费了不少地方。如果让针一边平移，一边绕着某个端点转动，就可以使用更小的区域。例如，针可以在一个等边三角形中完成转向。它先绕着一端转动，再平移到另一个位置，接着绕另一端继续转动。通过这种“转一下、挪一下”的方式，所需面积比圆盘小得多。挂谷本人还研究过一种三边向内弯曲的“曲边三角形”。针可以贴着边界不断改变位置和方向。挂谷一度猜测，这种图形可能就是最节省面积的答案。

　　问题的真正转折来自俄裔数学家贝西科维奇。他构造出一种奇特的平面集合：无论选择哪个方向，都能在其中找到一条单位线段，而整个集合的面积却是零。他将这种思想用于原始的转针问题，说明针完成转向所需的面积可以任意小。

　　这就像重新整理一把折扇。先用许多狭长三角形容纳不同方向的针，再把它们切细、平移并尽量重叠。虽然每片“扇叶”都有面积，但叠在一起后，总面积却能大幅缩小。不断重复这一过程，就能得到面积趋近于零的区域。由此，人们把原来的问题稍加改变：不再要求一根针真的连续转动，只要求一个集合在每个方向上都含有一条单位线段。这样的集合被称为挂谷集合。

　　一个集合中既然有所有方向的线段，怎么会没有面积？其中的关键在于，不同线段能够以极其复杂的方式重叠，共享许多位置。

　　类似构造也能出现在三维和更高维空间中。如果只问普通面积或体积，答案已经清楚：它可以为零。但同样是零体积，有的集合只像一张薄纸，有的却复杂得几乎充满空间。既然如此，我们需要一把更精细的尺子描述一个集合究竟有多“大”。

　　零面积为什么仍然“有维数”

　　我们习惯说，直线是一维的，纸面是二维的，生活的空间是三维的。但假如我们生活在一个形状十分奇怪的世界中，又事先不知道它有几维，该怎样通过测量发现答案，继而描述这个世界的大小呢？

　　想象一下用尺子测量一条线的长度，如果使用单位为米的尺子，相当于我们要数这条线需要用多少个1米的单位尺才能填满。但同时我们也可以用单位为厘米的尺子测量，那最后填满同一条线所需要的单位尺个数就会变成100倍。这是针对一维的线的情形。而针对二维的物品来说，我们使用边长为1米和边长为1厘米的格作为单位尺测量的结果应该相差10000倍。这个覆盖数量随尺度变化的速度，就直观地体现了空间的维数，在数学中这一概念通常被称为空间的闵可夫斯基维数。

　　对于形状十分零碎的集合，数学家还需要使用更精细的豪斯多夫维数。可以把它理解为一把能够调节维度的尺子：选取的维数太高，测量结果会趋近于零；维数太低，结果又会趋向无穷；两种情形发生转变的临界值，就是集合的豪斯多夫维数。

　　不过，体积为零并不一定意味着维数低。有些集合虽然没有面积，却仍具有二维的维数；也有些集合虽然没有体积，却在每一个尺度上都呈现出三维的复杂性。

　　挂谷猜想断言，一个含有所有方向单位线段的集合，它的豪斯多夫维数不能比所在空间的维数更低。简单地说，可以把所有方向的针挤进一个普通测度为零的集合，却不能把它们真正压成低维的东西。

　　1971年，英国数学家罗伊·戴维斯证明，平面挂谷集合即使面积为零，豪斯多夫维数仍然等于2。平面情形的挂谷问题由此得到证明。

　　但进入三维空间后，线段之间的关系骤然复杂起来。在平面上，两条不同方向的直线只会以相对简单的方式相交；在空间中，许多线段可能交叉，也可能错开，还可能挤在一张薄片或一个弯曲表面附近。更麻烦的是，这些线段的排列会随着观察尺度改变。远看是一束靠得很近的线，放大后可能分成许多小束；在某个尺度上显得杂乱无章，换一个尺度又可能出现清晰结构。

　　1995年，托马斯·沃尔夫发明了著名的“刷子”方法，证明三维挂谷集合的维数至少为2.5。可以想象，一根细管是刷柄，许多与它相交的细管像刷毛一样伸向不同方向。刷毛不可能完全重合，因此必然占据一定空间。后来，多位数学家把下界推进到严格大于2.5，但从这里到完整的三维结论，仍存在本质困难。

　　与此同时，挂谷问题也走出趣味几何的范围。研究光、声音等波的传播时，数学家常把复杂的波分解成许多沿不同方向传播的小波束。在一定尺度上，每一束波就像一根细管。要判断大量波束会不会过度集中，就必须了解不同方向的细管能够重叠到什么程度。挂谷问题由此成为连接分形几何、调和分析和偏微分方程的一道重要关口。

　　王虹如何完成最后一步

　　王虹长期研究波、细管和分形集合之间的关系，所以挂谷问题自然而然进入了她的视野。她与扎尔对三维挂谷问题的突破，并非在一篇论文中突然完成，而是沿着一条道路逐步展开，先处理具有特殊结构的情形，再逼近一般情形，最终完成证明。

　　研究挂谷集合时，数学家通常先给没有粗细的线段增加一点厚度，把它们看成许多极细的管子。管子越细，就越接近原来的线段。问题也随之转化为：当空间中出现许多方向不同的细管时，它们能够重叠到什么程度？所有细管的并集，最少要占据多大空间？

　　一种特别值得注意的情形，是细管的分布表现出“黏性”。所谓“黏性”，就是对这些细管的排布增加一种额外的人为限制，即方向接近的细管，在较大的尺度上也紧靠在一起，仿佛它们被胶水粘住。人们曾经怀疑，这种在不同尺度上持续“抱团”的方式，或许可以把所有方向的细管压缩进一个维数低于3的集合。

　　2022年，王虹和扎尔首先解决了这一特殊情形。他们证明，在三维空间中，即便细管在多个尺度上保持黏合，形成的挂谷集合仍然必须具有三维维数。方向相近的细管可以共享一部分空间，却不能毫无限制地挤在一起。

　　2024年，两人又证明，每个三维挂谷集合的阿苏阿德维数都是3。这种维数主要考察集合局部可能呈现的最高复杂程度。即无论集合整体多么稀薄，总能找到一个局部，经过放大后显露出三维复杂性。不过，这不等于整个集合的豪斯多夫维数是3；完整猜想仍须控制所有尺度上的变化，但这也让人们看到了解决这一猜想的曙光。

　　2025年2月，王虹和扎尔公布了一篇127页的论文，证明每个三维挂谷集合的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数都等于3，从而解决了三维挂谷猜想。

　　证明所面对的情形，仿佛是一团在不同尺度上不断分合的细线。只看其中几根，容易判断它们怎样交叉；面对无数根不同方向的细管，就必须先辨认它们究竟以什么方式聚集。王虹和扎尔的重要思想之一，是考察有多少细管能够共同挤进一个凸形“容器”。这个容器可以是球、盒子，也可以是各种被拉长或压扁的凸形区域。粗略地说，如果大量细管能在多个尺度上持续聚拢，它们就会显现出近似的“黏性”，可以运用此前建立的黏性挂谷理论；如果细管不能持续聚拢，经过多尺度分解后，就能证明它们必须占据足够大的空间。无论细管选择持续聚拢，还是在某些尺度上逐渐散开，最终都无法形成真正低于三维的挂谷集合。

　　2026年，王虹与她的博士生导师拉里·古斯以及扎尔又给出一份更短、更清晰的证明，使这项成果的总体结构更容易被理解和检验。国际数学联盟认为，她通过多尺度方法以及深刻的几何和组合洞察，在三维挂谷问题等分析学中心问题上取得了重大突破。

　　一根针连接的数学世界

　　三维挂谷猜想的解决，并不意味着整个问题已经结束。四维及更高维的情形仍然开放。在更高维空间中，细管可能聚集在更加复杂的曲面附近，三维证明中的方法无法直接照搬。

　　挂谷问题本身的重要性，不只在于一根针。研究光、声音等波的传播时，波束能否过度集中、传播后能否变得平滑，都与细管怎样聚集有关。王虹和扎尔发展出的多尺度方法，也可能用于其他分析和几何问题。它不会立刻变成新设备或新算法，却消除了基础理论中的一道重要障碍。

　　100多年前，挂谷宗一只是想知道一根针需要多大的地方才能转身；贝西科维奇随后发现，所有方向的针竟能藏进一个零面积集合；王虹和扎尔则进一步证明，在三维世界中，无论这些针怎样重叠、怎样隐藏，都不能真正被压成低维的东西。

　　体积可以消失，维数却留下了空间不可压缩的印记。

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　　《光明日报》（2026年08月27日 16版）