作者：郑豪（清华大学数学科学系助理研究员）

　　《射雕英雄传》第29章“黑沼隐女”，描写了一位原为大理国皇妃、后隐居黑沼的女子——瑛姑（刘瑛）。瑛姑绰号“神算子”，多年来独自隐居茅舍，潜心钻研各种算题。瑛姑的故事虽然出自小说家的向壁虚构，却从一个侧面巧妙地反映了中国古代算学的成就。书中的这一段描写，不失为了解中国古代算学成就的一个入口。

　　据《射雕英雄传》描写，郭靖和黄蓉两人走进堂中，“只见当前一张长桌，上面放着七盏油灯，排成天罡北斗之形。地下蹲着一个头发花白的女子，身披麻衫，凝目瞧着地下一根根的无数竹片”。这些竹片“长约四寸，阔约二分，知是计数用的算子”。这里的“算子”，即是中国古代的记数工具——算筹。

　　“算”，在中国古代有三种写法：筭、算、祘。筭，《说文解字》解释为“长六寸，计历数者。言常弄乃不误也”。筭是一个会意字，由“竹”和“弄”两部分组成，指的是一种六寸长的竹制计算工具。算，《说文解字》解释为“数（shù）也。从竹从具，读若筭”。算也是一个会意字，由“竹”和“具”两部分组成。段玉裁注解说：“从竹者，谓必用筭以计也；从具者，具数也。”也就是从计算工具演变为应用的过程。祘字较为晚出，由两个“示”字合并而成。《说文解字》解释说：“明視以筭之。”关于“示”，许慎又解释说：“垂象，见吉凶，所以示人也。从二。三垂，日月星也。观乎天文，以察时变。示，神事也。”也就是把上天的某种征象显示出来的意思。

　　“算”字的三种写法，是我们理解中国古代算学成就的一把钥匙。其一，它表明竹制的算筹是中国古代的记数工具。这与古希腊的做法截然不同。古希腊使用小石子记数，古希腊语的“碎石”后来演变为拉丁语中的Calculus，也就是今日英文Calculation一词的词源。其二，“算”同“祘”，后者从示，有着象神的含义，表明计算一事可由神明来验证。在某种意义上，中国古代的算学也是一种“通天”之学，但与古希腊毕达哥拉斯所说的“万物皆数”又有所区别。其三，算筹记数，使用十进位值制，便于计算。五以下的数目，直接用几根筹表示；五以上的数目，则用一根筹放在上面，余下的每一根筹表示一。表示数目，又有纵式和横式两种形式。表示多位数时，则要使各位数目的筹式纵横相间。数字有空位时，则不放算筹（中国古代没有表示数字0的符号）。这种同一数码在不同位置（数位）产生不同位置值（也叫权）的制度，被称作“位值制”。算筹记数采用十进位值制，既较古巴比伦人的六十进制为优，又较古印度人的十进位值制要早（迟至6世纪末），可以说是中国古代算学取得辉煌成就的重要基础之一。

　　宋朝以前，中国长期使用算筹计算，称为“筹算”。宋朝以后，算盘计算逐渐得到推广和运用，称为“珠算”。明朝以后，筹算才被珠算所替代。如今中小学数学教学常用的笔算，实际上是来自西方系统的舶来品，迟至1910年代才逐渐得到广泛的应用。筹算长期在计算中占据主要地位，应与古人的生活习惯有关。古人席地而坐，就地布毡，使用算筹十分方便。宋朝以后，垂足坐的起居方式逐步推广，这时筹算就显得不够方便了，与桌案相适应的珠算自然应运而生。

　　关于算筹的形制大小，《射雕英雄传》说“长约四寸，阔约二分”，实际上这是被改进后的样子。《汉书·律历志》：“算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”这里的“一分”应为“三分”之误。可见汉代以“长六寸、阔三分”为算筹的标准形制。汉代一尺约为23.1厘米，六寸为13.86厘米，三分为0.693厘米。北周甄鸾《数术记遗》：“积算，今之常算是也。以竹为之。长四寸以效四时，方三分以象三才。”其后《隋书·律历志》也说：“其算用竹，广二分，长三寸。”隋代一尺约为29.5厘米，四寸为11.8厘米，三寸为8.85厘米，三分为0.885厘米。算筹的长度逐渐改得短小，自然更便利于运用与携带。至于“四时”与“三才”之说，则是天人交感观念在算数之学中又一反映。

　　《射雕英雄传》中还涉及九宫图（幻方）问题。最先出现的是“三阶幻方”——九宫图，即将1至9这9个数字排成3列，每行、每列、每条对角线上的3个数字之和都等于15。黄蓉给出的答案是：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”实际上，这一解答渊源有自，并非出自黄蓉的原创。

　　中国最早的“幻方”，被称作“洛书”，与“河图”并称。相传洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹。大禹依此治水成功，划分天下为九州。又依此定九章大法，治理社会，此即《尚书·洪范》之原本。《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”由此河图洛书成为中华文化之源，亦成为治理天下的基本依据。这是中国古代算学与神明之事相关联的又一例证。汉代把洛书的图形数字称为“九宫算”，又称为“纵横图”。北周甄鸾在《数术记遗》中对“九宫算”的图形数字做过总结，形成了黄蓉所说的四字歌诀。这个歌诀，实际上反映了三阶幻方的基本形式。

　　在《续古摘奇算法》一书中，杨辉最早对纵横图及其构成规律做出了探讨。该书分为上下两卷，下卷摘引各类算书中的“奇题”进行研究（故名之），上卷则专门讨论20个纵横图。第一为河图，第二为洛书，接着是四四、五五、六六、衍数、易数图各2个，九九、百子图各1个，最后有“攒九”幻圆和“聚五”“聚六”“聚八”“八阵”“连环”异形幻圆。

　　关于三阶幻方生成方法与布局的口诀，杨辉的说法更胜一筹：“九子斜排，上下对易。左右相更，四维挺出。戴九履一，左三右七。二四为肩，六八为足。”后四句指的就是“洛书”。把1到9这9个数按顺序斜排，然后“上下对易”，将1和9对调，接着“左右相更”，将7和3互换，最后“四维挺出”，将四面中间的数2，4，6，8向外挺出。前四句则道出了三阶乃至任何奇阶幻方的构造程序。“洛书”的图案不过是三阶幻方最为常见的一种形式。实际上，要使纵、横、斜三线上的三个数相加为15，只能推算出8种可能。要使三阶幻方成立，就只能把5放在中间的方格，将1、3、7、9放在靠边的四个方格，将2、4、6、8放在四角的方格。这就是三阶幻方的基本形式，只有1种。通过方阵的旋转与映射，可以得到8种变幻，但它们都是同构的。

　　时至今日，幻方可以推广到广义幻方、幻体、双随机矩阵等方面，在生产生活中得到了广泛应用，不仅运用于实验设计、纺织、工艺美术、程序设计、航运、建筑设计等领域，而且还与目前大热的人工智能深度结合。此外，幻方横、竖、纵都分布平衡的特性，对保持社会乃至生态的平衡不无启示意义。由此看来，古人认为河图洛书包含了治国理政的基本原理，并非无稽之谈，而是蕴含着中华民族对数理与时空观念的深刻思考。纵横图对实际的生活应用问题没有帮助，杨辉专门列出一卷讨论纵横图的做法虽然有些独特，但仔细想来，它又是对宏观层面的天人关系与治国纲领的一种反映，并非纯粹逻辑推理与演绎的结果。

　　《光明日报》（2025年12月06日 11版）